Лаборатория математической физики тел. +7(095) 939 - 5426, 939 – 1919, 939 - 5215 факс +7(095) 939 - 2596, E-mail: dmitriev@cs.msu.su 119899 г. Москва, Воробъёвы горы, МГУ, 2-й Учебный Корпус, ВМиК, 6 этаж, 610, 60, 61, 64 комн.

[ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА] [СОСТАВ ЛАБОРАТОРИИ] [КАК НАС НАЙТИ]

Содержание

Курса

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Часть I. Обыкновенные дифференциальные

уравнения

п.1. Понятие дифференциального уравнения.

Математические модели, описываемые

обыкновенными дифференциальными уравнениями.

п.2. Постановка задачи с начальными данными

(задача Коши). Понятие корректной постановки

задачи. Лемма Гронуолла–Беллмана.

п.3. Теорема единственности решения задачи Коши

для уравнения I-порядка, разрешенного

относительно производной.

п.4. Теорема существования решения задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешенного

относительно производной.

п.5. Дифференциальное уравнение I-порядка,

неразрешенное относительно производной.

Теорема существования и единственности решения.

п.6 Особые решения уравнения I-го порядка,

неразрешенного относительно производной.

п.7. Общий интеграл уравнения I-го порядка.

Интегральный множитель.

п.8. Нормальные системы DУ. Теорема существования

и единственности решения задачи Коши для

нормальной системы и уравнения n-го порядка.

п.9. Непрерывность решений дифференциальных

уравнений по начальным данным и параметрам.

Регулярно возмущенные системы дифференциальных уравнений. Понятие о сингулярном возмущении.

п.10. Линейное дифференциальное уравнение n-го

порядка и его свойства. Сведение к нормальной

системе первого порядка. Существование решения.

п.11. Линейное дифференциальное уравнение

2-го порядка. Понижение порядка уравнения.

Уравнение Риккати.

п.12. Общая теория однородных линейных систем

обыкновенных дифференциальных уравнений.

п.13. Фундаментальная система решений и общее

решение для линейной системы дифференциальных

уравнений.

п.14. Решение неоднородной системы

дифференциальных уравнений.

п. 15. Построение Ф.С.Р. для системы уравнений с

постоянными коэффициентами в случае некратных

корней характеристического уравнения.

п.16. Построение Ф.С.Р. для системы уравнений при

кратных корнях характеристического уравнения.

п.17. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Исследование уравнения 2-го порядка.

Формула Остроградского-Лиувилля.

п.18. Основные понятия теории устойчивости.

Устойчивость решения линейной системы.

п.19. Исследование устойчивости решения системы

по первому приближению.

п.20. Исследование траектории в окрестности точки

покоя.

Часть II. Краевые задачи и вариационное

исчисление

п.21. Постановка краевых задач для обыкновенных

дифференциальных уравнений. Формула Лагранжа.

п.22. Формула Грина. Построение решения краевой

задачи с помощью функции Грина.

п.23. Существование функции Грина. Постановка

краевой задачи при существовании решения

однородной задачи.

п.24. Обобщенная функция Грина и представление

решения с ее помощью.

п.25. Задача Штурма-Лиувилля и ее свойства.

п.26. Редукция задачи Штурма-Лиувилля к

интегральному уравнению.

п.27. Решение неоднородного интегрального уравнения

с симметричным ядром. Теорема Стеклова.

п.28. Поведение решения задачи Штурма-Лиувилля

при , если .

п.29. Уравнение Бесселя. Построение решения в

виде степенных рядов.

п.30. Собственные функции краевой задачи

для уравнения Бесселя.

п.31 Линейные уравнения в частных производных

первого порядка.

п.32. Постановка обратных задач для дифференциального уравнения второго порядка. Неустойчивость задачи

определения правой части уравнения.

п.33. Понятие функционала и вариации.

Постановка вариационной задачи.

Необходимые условия экстремума.

п.34. Основная лемма вариационного исчисления.

Уравнения Эйлера.

п.35. Функционалы, содержащие производные порядка

выше первого и зависящие от нескольких функций.

Необходимые условия экстремума.

п.36. Многомерные вариационные задачи.

Уравнение Эйлера-Остроградского.

п.37. Вариационные задачи на условный экстремум.

Метод неопределенных множителей Лагранжа.